সরল ছন্দিত স্পন্দনের (মোটামুটি অপরিচিত) একটি সমীকরণ

জটিল সংখ্যার এমন একটা রূপ আছে, যেটার সাথে আমরা খুব একটা পরিচিত না। সেটা হলো

z=reⁱᶿ

z হলো জটিল সংখ্যা। r হলো সংখ্যাটির পরমমান, e, i, θ কী, আমরা জানি। 

তোমাকে আরেকটা সমীকরণ দেওয়া হলো x=Ae^i(ωt+δ) এবং বলা হলো, "হে লিফাফা! তুমি বিশ্বাস করো যে এটা সরল ছন্দিত স্পন্দনের গতির সমীকরণের একটি সমাধান।"

তোমাকে দরদ দিয়ে ডাকলেই নিশ্চয়ই হুট করে বিশ্বাস করবে না! যেহেতু সমাধান, তাই তোমাকে মূল সমীকরণে ফেলে মিলিয়ে দেখতে হবে! 

সরল ছন্দিত স্পন্দনের গতির সমীকরণ:

dx²/dt²+ω²x=0

বাম পাশ শূন্য হলেই আমরা বলতে পারি কথা সত্য!

LHS= dx²/dt²+ω²x

=d²{Ae^i(ωt+δ)}/dt²+ω²x...(1)

আমার ভালো ফন্ট নেই। তাই ভেঙে দেখাচ্ছি। নতুবা গণ্ডগোল হয়ে যেতে পারে।

এখন, 

d{e^i(ωt+δ)}/dt = iω•e^i(ωt+δ)... (2) 

(1) ও (2) থেকে পাই, 

i²ω²{Ae^i(ωt+δ)}+ω²x

=-ω²x+ω²x

=0

জ্বি, সরল ছন্দিত গতির সমীকরণের এটাও একটা সমাধান!